[기초통계] 기각역이란? :: 제 1종오류와 제 2종오류의 관계 :: 단측검정, 양측검정

앞 서 가설검정과 가설검정시 범할 수 있는 오류에 대해 알아보았다.

이번에는 귀무가설을 기각하는 구간인 기각역에 대해 알아보겠다.

기각역이란?

 우리는 모집단의 일부분인 표본으로부터 검정의 결론, 즉, $H_{0}$을 기각하거나, $H_{0}$을 기각하지 않고 유지하는 결정을 내리게 되는데, 이 때 이용되는 표본의 함수, 즉 통계량을 검정통계량이라 한다.

콜레스테롤 수치를 낮춰주기 위해 개발한 신약이 효과가 있는지 없는지 검정하는 예시에서 약 복용 후 실험자들의 콜레스테롤 수치의 평균 $\bar{X}$가 검정통계량이 된다.

약을 복용 전 콜레스테롤 수치의 평균이 200이라 하자.

$H_{0}$ : 신약이 효과가 없다. : $\mu = 200$

$H_{1}$ : 신약이 효과가 있다. : $\mu < 200$

개발된 약이 정말로 효과가 있기 위해서는 이 $\bar{X}$의 값이 200에 비해 상당히 작아야 한다. 즉, 적당한 $c$에 대해 $\bar{X} < c$ 일 때 $H_{0}$을 기각한다. 이렇게 $\bar{X}$가 취하는 구간 중에서 $H_{0}$을 기각하게 하는 구간을 기각역(critical region)이라 하는데, 이를 $R : \bar{X} \le c$로 표현하고, $\bar{X}$가 $c$이하이면 $H_{0}$를 기각한다.

기각역이란? $\bar{X}$가 취하는 구간 중에서 $H_{0}$을 기각하게 하는 구간

가설검정의 결과는 오류를 범할 가능성이 존재한다. 따라서 가장 바람직한 기각역이란 제 1종오류($\alpha$)와 제 2종오류($\beta$)를 최소화시키는 값이다.

그러나 $\alpha$를 줄이려면 $\beta$가 커지게 되고, $\beta$를 줄이려면 $\alpha$가 커지게된다. 

그 이유를 위의 예시로 설명하면,

$$H_{0}가 맞을 때\, (\mu = 200)\quad \alpha = P[\bar{X} \le c]$$

$$H_{1}가 맞을 때\,  (\mu < 200)\quad \beta = P[\bar{X} > c]$$

가 된다.

$H_{1}$가 맞을 때 $\mu=195$라 하자. 즉, 개발된 약이 콜레스테롤 수치를 5(mg/dl) 만큼 줄이는 효과가 있었다고 하자. 

그럼 $H_{0}$가 맞을 때 $\mu$의 분포는 평균이 200인 정규분포를 따르고, $H_{1}$이 맞을 때 $\mu$의 분포는 평균이 195인 정규분포를 따른다.

기각역 $c$를 변화시켜가면서 $\alpha$와 $\beta$가 어떻게 변하는지 보면 다음과 같다.

$c$를 작게하면 $\alpha$는 작아지지만 $\beta$는 커진다. 따라서 어느 선에서 타협점을 찾아야 하는데, 대개의 경우 제 1종오류가 제 2종오류보다 심각하기 때문에 $\alpha$값이 0.05, 0.1 또는 0.01 등의 작은 값을 갖도록 해주는 기각역을 선택한다. 이 때 선택된 $\alpha$를 유의수준(significance level)이라고 한다.

위의 신약 예시에서 표본의 크기를 40이라 하고 표준편차를 24라 하면 $\bar{X}$ 의 분포는 $N(200, 24^2)$ 이다. 따라서 $Z = \frac{\bar{X}-200}{24/\sqrt{40}} \sim N(0, 1)$ 이므로 정규분포표로부터  $P[Z \le -1.645] = 0.05$ 를 이용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

$$0.05 = P(\frac{\bar{X}-200}{24/\sqrt{40}}\le -1.645) = P[\bar{X} \le 200-1.645 \times 24/\sqrt{40}]$$

따라서 기각역 $c = 200-1.645 \times 24/\sqrt{40} = 193.76$ 이다. 

표본의 크기가 큰 경우에는 모집단에 대한 정규분포 가정이 없더라도 중심극한정리를 이용하여 $\bar{X}$의 분포가 정규분포가 되며, 표준편차($\sigma$)를 몰라도 표본표준편차($s$)로 대신 할 수 있다.

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단측검정과 양측검정

위의 예시는 $H_{1} : \mu < \mu_{0}$ 일 때, 즉, 한 쪽 방향에 대해서만 하는 단측검정이었다.

그러나 모평균($\mu$)이 어떤 값($\mu_{0}$)과 차이가 난다. 즉, $\mu$이 $\mu_{0}$이 아니라는 주장을 하고 싶을 때는 대립가설이 $H_{1} : \mu \ne \mu_{0}$의 형태를 갖게 된다.

즉, Z가 기각역보다 클 때만 기각하거나, 작을 때만 기각하는 검정을 단측검정(one-sidee test)라 하고, Z가 크거나 작은 모든 경우에 기각하는 검정을 양측검정(two-sided test)라 한다.

* 모평균 $\mu$에 대한 검정

표본의 크기가 클 때 모평균 $\mu$에 대한 가설 $H_{0} : \mu=\mu_{0}$를 검정하기 위한 검정통계량은 다음과 같다.

$$Z = \frac{\bar{X}-\mu_{0}}{s/\sqrt{n}}$$

검정통계량의 분포는 $H_{0}$가 맞을 때 N(0, 1)을 따른다. 각 대립가설에 대하여 유의수준 $\alpha$를 갖는 기각역은 다음과 같다.

$$H_{1} : \mu<\mu_{0} 일 때 \quad R : Z \le -Z_{\alpha}\quad (단측검정)$$

$$H_{1} : \mu>\mu_{0} 일 때 \quad R : Z \ge Z_{\alpha}\quad (단측검정)$$

$$H_{1} : \mu \ne \mu_{0} 일 때 \quad R : \left| Z \right| \ge Z_{\alpha/2}\quad (양측검정)$$

단, 모집단의 표준편차($\sigma$)가 주어져 있을 때 $s$를 $\sigma$로 대체한다.