[프로그래머스] 멀쩡한 사각형 in python

파이썬으로 프로그래머스 풀기 :: 멀쩡한 사각형

문제 설명

가로 길이가 Wcm, 세로 길이가 Hcm인 직사각형 종이가 있습니다. 종이에는 가로, 세로 방향과 평행하게 격자 형태로 선이 그어져 있으며, 모든 격자칸은 1cm x 1cm 크기입니다. 이 종이를 격자 선을 따라 1cm × 1cm의 정사각형으로 잘라 사용할 예정이었는데, 누군가가 이 종이를 대각선 꼭지점 2개를 잇는 방향으로 잘라 놓았습니다. 그러므로 현재 직사각형 종이는 크기가 같은 직각삼각형 2개로 나누어진 상태입니다. 새로운 종이를 구할 수 없는 상태이기 때문에, 이 종이에서 원래 종이의 가로, 세로 방향과 평행하게 1cm × 1cm로 잘라 사용할 수 있는 만큼만 사용하기로 하였습니다.
가로의 길이 W와 세로의 길이 H가 주어질 때, 사용할 수 있는 정사각형의 개수를 구하는 solution 함수를 완성해 주세요.

제한사항

• W, H : 1억 이하의 자연수

입출력 예

W	H	result
8	12	80

입출력 예 설명

입출력 예 #1
가로가 8, 세로가 12인 직사각형을 대각선 방향으로 자르면 총 16개 정사각형을 사용할 수 없게 됩니다. 원래 직사각형에서는 96개의 정사각형을 만들 수 있었으므로, 96 - 16 = 80 을 반환합니다.

https://programmers.co.kr/learn/courses/30/lessons/62048

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import math
def solution(w,h):
    return w*h - (w+h-math.gcd(w,h))

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위의 그림이 좌표위에 있다고 생각해보자.

그럼 대각선은 (0, 0)과 (8, 12)를 지나고, 직선의 식은 \(y = \frac{3}{2}x\) 과 같다.

즉, x가 2의 배수일 때, y가 3의 배수일 때 점을 지난다. x : (2, 4, 6, 8), y : (3, 6, 9, 12)

이 때 직선이 지나는 점의 개수(빨간 사각형 개수)는 4개이다. 즉, 8과 12의 최대공약수이다.

이제 w와 h의 최대공약수가 1일때와 그 이상일 때로 나누어 생각해보자.

1. 최대공약수가 1일 때

최대공약수가 1일 때는 직선이 지나는 점이 없다. 

이 때, 대각선이 지나갈 때마다 가로의 개수와 세로의 개수만큼 사각형이 갈라진다. 이를 그림으로 보면 다음과 같다.

예) w=2, h=3일 때

즉, w와 h의 최대공약수가 1일 때 잘라지는 사각형의 개수는 w+h-1이다. (1을 뺀 이유는 처음에 겹치는 사각형때문이다.)

2. 최대공약수가 1보다 클 때

최대공약수가 1보다 클 때는 위에 좌표그림처럼 일정한 블락이 두 수의 최대공약수만큼 반복되며, 블락 안에서 잘라지는 사각형의 수는 위 1번과 같다. 이 때 블락의 크기는 두 수의 최대공약수를 g라 할 때 w//g by h//g이다. (w = 8, h = 12일 때, g = 4/ 블락의 크기 : 2(8//4) by 3(12//4))

즉, 최대공약수가 1보다 클 때 잘라지는 사각형의 수는 g*((w//g)+(h//g)-1) = w + h - g 이다.

따라서 전체 사각형의 개수에서 잘라지는 사각형의 개수를 빼면 w * h - (w + h - g) 이다.